Математична кібернетика

МАТЕМАТИ́ЧНА КІБЕРНЕ́ТИКА — наука про математичні методи керува­н­ня складними системами, роль інформації в цьому процесі, її зберіга­н­ня, пере­творе­н­ня, накопиче­н­ня та пере­дава­н­ня (див. також Кібернетика, Математика, Автоматизована система керува­н­ня). Предметом ви­вче­н­ня є широкий спектр обʼєктів у багатьох сферах жит­тєдіяльності: тех. системи різного при­значе­н­ня, рухомі обʼєк­ти (автомобілі, літаки, гелікоптери, кораблі тощо), задачі у воєн. сфері (пере­хопле­н­ня цілей, вза­ємодія угрупувань), фіз. і мех. процеси на обʼєктах промисловості, екон. процеси, повʼязані з вироб-вом, ринк. від­носинами тощо, біол. системи (живучість, генет. звʼязки), процеси у соц. сфері (побут. умови, вибори) й адмініструван­ні в су­спільстві (керува­н­ня на різних рівнях). У житті людини трапляються екс­тремал. і конфліктні ситуації. Сама людина, її нерв. система, фіз. стан є склад. керов. процесами, з якими повʼязаний величез. потік інформації, що вимагає її надій. зберіга­н­ня, швидкого до­ступу для ефектив. викори­ста­н­ня та захисту від несанкціонов. втручань. У будь-яких керов. системах важливим є забезпече­н­ня їхнього стабіл. функціонува­н­ня для прийня­т­тя ефектив. (бажано оптимал.) рішень (див. Оптимальних рішень теорія). Для цього необхідно при­скіпливо досліджувати складні керов. процеси на основі адекват. математичних моделей, що є обʼєктом ви­вче­н­ня М. к. Як базовий апарат за­стосовують методи математичного аналізу, функціонального аналізу, приклад. нелінійного аналізу, ймовірностей теорії, алгебричні структури та компʼютерне моделюва­н­ня, а саму динаміку склад. систем (див. Динамічних систем теорія) описують, за­звичай, дис­крет. процесами (див. Дис­кретний аналіз), інтегральними рівня­н­нями, диференціал. (див. Диференціальних рівнянь теорія, Диференціальна геометрія, Інтегральна геометрія), інтегро-диференціал., диференціально-різницевими рівня­н­нями, рівня­н­нями з роз­поділеними параметрами, з дроб. похідними, імпульс. системами, стохастич. процесами, оператор. рівня­н­нями, системами змін. структури та гібрид. системами. Таке роз­маї­т­тя динаміки викликане бажа­н­ням виділити характерні особливості процесів, а також врахувати ту об­ставину, що складні системи функціонують в різних середовищах (повітряному, водному, вʼязко-пруж. тощо). Оскільки керува­н­ня динаміч. процесами від­бувається, як правило, в умовах різної інформованості особами, які при­ймають ріше­н­ня, то сама інформація набуває особливого значе­н­ня, впливаючи на той матем. апарат, що використовують для дослідже­н­ня. Неповноту до­ступ. інформації можуть спричиняти неточність вимірювань, отрима­н­ня її з запізне­н­ням і стохастична природа. Параметри керува­н­ня, як і фазовий стан, завжди мають певні обмеже­н­ня, зокрема геом., інтеграл., імпульсні та змішані. Керува­н­ня вибирають, за­звичай, на основі позицій. інформації (синтез керува­н­ня), іноді воно є про­грам. або кусково-про­грамним. При без­запереч. пере­вазі зворотнього звʼязку — мит­тєва реакція на ситуацію, що склалася, — з матем. точки зору можуть бути про­блеми, повʼязані з існува­н­ням роз­вʼязку, якщо залежність керува­н­ня від позиції не є неперервною. В цьому випадку іноді корисним є апарат диференціал. включень, де у правій частині фігурують много­значні від­ображе­н­ня (див. Многовид). Якість керува­н­ня склад. системами оцінюють за певними критеріями. Най­вживаніші — швидкодія, найкоротший шлях, мін. затрати енергії. При цьому іноді досить отримати результат, кращий від того, що був ві­домий (т. зв. принцип гарантованого результату). Проте остан­ні 60–70 р. великої популярності набула теорія оптимал. керува­н­ня (отрима­н­ня найкращого результату). Ключ. матем. методами тут є принцип максимуму Понтрягіна та метод динаміч. про­грамува­н­ня Бел­лмана (див. також Математичне про­грамува­н­ня). Склад. керов. системам притаман­ні такі важливі характеристики: керованість (критерій Калмана), спо­стережливість, стійкість, надійність. Іноді враховують робастну стійкість, коли потрібно аналізувати стійкість певного сімейства, динамічність систем. Термін «робастність» означає грубість в сенсі Андронова–Понтрягіна. Для синтезу систем керува­н­ня широко за­стосовують апарат функцій Ляпунова. Принципи оптимал. синтезу ліній. систем керува­н­ня повʼязані з про­блемою збуре­н­ня псевдо інверс. і проектив. матриць (див. також Матриць теорія), з роз­вʼяза­н­ням L-про­блеми моментів (див. Моментів про­блема). При дослідж. задач практич. стійкості та стабілізації руху динаміч. систем роз­роблена структура мінімакс. регуляторів і фільтрів Калмана. Закладені теор. основи синтезу систем керува­н­ня рухомими обʼєктами з інформ. блоком у ви­гляді без­платформеної інерціал. навігац. системи з за­стосува­н­ням кватерніонів і бікватерніонів. З метою оцінюва­н­ня фазового стану та параметрів обʼєкта керува­н­ня роз­роблено низку стохастич. і детермінов. процедур ідентифікації. Для встановле­н­ня кон­структив. звʼязків між матем. про­блемами теорії керува­н­ня та класич. математикою корисним виявилося за­стосува­н­ня теорії диференці­йов. многовидів, неперерв. груп і зовн. диференціал. форм до ви­вче­н­ня динаміч. керов. систем, що стало знач. внеском у диференціально-геом. теорію керува­н­ня. Для певних класів систем керува­н­ня зна­йдені мін. інваріантні множини, тобто отримано роз­вʼяза­н­ня узагальненої задачі Булгакова про накопиче­н­ня збурень. Однією з най­складніших є про­блема керува­н­ня системами з роз­поділеними параметрами. Для рівнянь з частин. похідними поряд з фундам. теорією існує низка методів, орієнтованих на практичне за­стосува­н­ня. Це, зокрема, методи скінчен­них елементів і скінчен­них різниць. Вони до­зволяють роз­вʼязувати задачі фільтрації, тепломасопереносу тощо. Виконані роботи, повʼязані з забезпече­н­ням рівноваги тороїдал. плазми в термоядер. установках токамак за допомогою автоматично керов. попереч. магніт. поля. Дослідж. у галузі керува­н­ня високотемператур. плазмою стимулювали роз­виток заг. методів керува­н­ня швидкоплин. процесами. Досягнуто знач. про­гресу в задачах керува­н­ня обʼєктами, що описують неліній. диференціально-оператор. рівня­н­нями, варіац. нерівностями й еволюц. включе­н­нями, для яких отримано необхідні умови оптимальності. У задачах ідентифікації та керува­н­ня ві­домий індуктив. метод — метод груп. врахува­н­ня аргументів, що мінімізує обʼєм апріор. інформації про модель, що досліджують. Важливі за­стосува­н­ня мають методи оптимал. керува­н­ня стохастич. системами (метод стохастич. градієнта), зокрема випадк. процесами та полями. Це стосується фінанс. і страх. математики, роз­пі­знава­н­ня образів, оцінюва­н­ня та про­гнозува­н­ня криз. явищ, прийня­т­тя рішень в умовах ризику. Широкі можливості для моделюва­н­ня процесів надає апарат нечітких множин, методи оптимізації на графах. Над­склад. про­блемою є керува­н­ня динаміч. процесами в умовах конфлікту та неви­значеності. Для по­значе­н­ня цього кола питань вживають словосполуче­н­ня диференціал. ігри, динамічні ігри, серед фахівців популярним є більш заг. термін — «конфліктно-керов. процеси», що охоплює будь-яку динаміку керов. процесу. Класичними для цього наук. напряму є прямі методи Понтрягіна, метод Айзекса та метод напів­груп. операторів Пшеничного, що базуються на ідеології динаміч. про­грамува­н­ня, правило екс­тремал. прицілюва­н­ня Красовського — позицій. спосіб пере­слідува­н­ня, що об­ґрунтовує зближе­н­ня траєкторій за погон. кривою Ейлера, метод роз­вʼязуючих функцій, що об­ґрунтовує методи паралел. зближе­н­ня та пере­слідува­н­ня за променем, що за­стосовують проектувальники ракет. і косміч. техніки. У рамках конфліктно-керов. процесів можуть вирішувати такі прикладні задачі: уникне­н­ня сутичок рухомих обʼєктів (в аеро- та мор. портах), стохастичні задачі пошуку та стеже­н­ня за рухом, зокрема пошук помилок у компʼютер. про­грамах, захист особливо важливих обʼєк-тів, інформації в ка­налах звʼязку та компʼютер. про­грам від несанкціонов. до­ступу. Важливе за­стосува­н­ня ігрових моделей в авіації — без­печні зліт і посадка, «мʼяка» посадка; в оборон. галузі — пере­хопле­н­ня цілей для потреб ППО, в косміч. сфері — обʼєктів, що рухаються по кругових і еліптич. орбітах. Для під­тримки прийня­т­тя рішень важливою є про­блема захисту інформації – комплексу заходів протидії можливим атакам на інформ. системи для забезпече­н­ня конфіденційності. Цю функцію забезпечують методи криптографії та стеганографії. Для захисту інформації використовують також сучасні методи кібербезпеки, захисту кібер­простору, що утвор. в результаті функціонува­н­ня компʼютер. мереж, телекомунікац. ка­налів, мережі Інтернет. Оскільки в задачах керува­н­ня склад. системами осн. елементом є знаходже­н­ня екс­тремал. значень, то пере­важають методи оптимізації (дис­крет., опуклої, стохастич., недиференці­йов.), зокрема лінійне та квадратичне про­грамува­н­ня. Серед них слід виділити градієнтні та суб­градієнтні методи, метод можливих напрямків, лінеаризації, спряжених напрямків, покоординат. спуску, метод Ньютона, методи штраф. і модифіков. функцій Лаґ­ранжа. Для прийня­т­тя оптимал. рішень за багатьма критеріями ві­домі принципи рівноваги за Нешем, Парето, Штакельберґом, Джоф­фрі­оном, Слейтером. Можливості матем. методів не без­межні. Вони дають принцип. під­ходи, формують ключ. ідеї, до­зволяють зорієнтуватися в роз­маїт­ті можливостей, ілюструючи ефект на модел. прикладах. Проте багато обʼєктів і явищ описують над­звичайно склад. спів­від­ноше­н­нями і за­стосува­н­ня традиц. матем. методів без­посередньо не дає бажаного результату. Так, напр., якщо обʼєкт описують системою з великою кількістю неліній. диференціал. рівнянь, то отримати аналітичні залежності майже неможливо. У цьому випадку використовують методи компʼютер. моделюва­н­ня. Сучасні інформ. технології, зокрема методи роз­паралелюва­н­ня процесів, до­зволяють на основі чисел. роз­рахунків і можливостей без даних скласти якісну картину про проходже­н­ня склад. керов. процесів, надати інформ. під­тримку для прийня­т­тя рішень. На основі матем. методів і ком­пʼютер. засобів роз­робляють про­блемно-орієнтовані про­грамні системи, моделюючі комплекси та тренажери. Широкий спектр методів М. к. та їхнє практичне за­стосува­н­ня тісно повʼязані між собою, а також з такими сучас. наук. напрямами, як прикладна математика, екс­тремал. задачі, теорія прийня­т­тя рішень, системний аналіз, дослідж. операцій, штучний інтелект та ін.

Завантажити статтю